Sur le Théorème de Paley-Wiener d’Arthur

Le Théorème de Paley-Wiener de J. Arthur (cf. [A]) décrit la transformée de Fourier de l’espace des fonctions C∞ à support compact, K-finies à droite et à gauche, ou plutot τ -sphériques sur un groupe réductif réel dans la classe d’Harish-Chandra. La démonstration repose sur le déplacement de contour de certaines intégrales et sur l’étude des résidus ainsi obtenus. Plus récemment ce résultat a été généralisé aux espaces symétriques réductifs par E. van den Ban et H. Schlichtkrull (cf. [BS]), en utilisant également un déplacement de contour d’ intégrales et les résidus. Antérieurement au travail d’Arthur, D. P. Zelobenko (cf. [Z]) avait obtenu le résultat pour les groupes semi-simples complexes par une méthode basée sur sa classification des représentations irréductibles (cf. [Du] pour une exposition de cette classification) et un argument de récurrence sur la longueur des K-types. Nous avons appris cette méthode dans des notes non publiées de M. Duflo et l’avons appliquée aux groupes semi-simples réels avec une seule classe de conjugaison de sous-groupes de Cartan (cf.[D1]). Nous l’appliquons ici à une classe de groupes réductifs réels. Contrairement au cas complexe, il faut faire intervenir des conditions d’entrelacement portant sur des dérivées partielles d’ordre quelconque des transformées de Fourier, relations introduites par O. Campoli (cf. [Cam]) pour les groupes de rang 1. Nous introduisons ces relations en terme d’entrelacement entre sous-quotients, non nécessairement irréductibles, de dérivées successives de séries principales généralisées (cf. § 1.5 pour cette notion). La plupart des résultats utilisés datent d’au moins 20 ans notamment ceux sur les intégrales d’entrelacement et leur normalisation [KSt], la classification de Langlands (cf. e.g. [BoWall]) et la classification de Vogan (cf. [V1], [V2]) des représentations irréductibles, les homomorphismes d’Harish-Chandra liés aux K-types minimaux des séries principales généralisées (cf. [D2]), et les multiplicateurs (cf. [D3]). Un résultat récent (cf. [DSou]), qui fait suite à un travail de S. Souaifi (cf.[Sou]), joue toutefois un role crucial. Celui-ci établit que tout module d’Harish-Chandra est un sous-quotient d’une somme finie de dérivées successives de séries principales généralisées. En outre on peut choisir celles-ci de sorte que leurs K-types soient de longueur supérieure ou égale à celle d’au moins un K-type du module original (cf.[DSou], Théorème 3). On établit enfin une caractérisation de la transformée de Fourier de C∞ c (G), en utilisant d’une part la formule de Plancherel d’Harish-Chandra et d’autre part le résultat ∗Institut de Mathématiques de Luminy UPR 9016 du C.N.R.S Université de la Méditerranée 163, avenue de Luminy Case 907 13288 Marseille Cedex 9